在高等数学中，变限积分是一个非常重要的概念，它涉及到积分与函数之间的关系。所谓变限积分，是指积分的上下限不再是固定的常数，而是变量本身或者与变量相关的表达式。这种形式的积分在物理学、工程学以及经济学等领域有着广泛的应用。

那么，变限积分的求导公式是什么呢？这里我们引入一个基本定理——莱布尼茨积分法则（Leibniz Integral Rule）。该法则主要描述了如何对含有变量上下限的积分进行求导。具体来说，如果有一个积分表达式如下：

\[ F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t, x) \, dt \]

其中 \( a(x) \) 和 \( b(x) \) 是关于 \( x \) 的函数，\( f(t, x) \) 是关于 \( t \) 和 \( x \) 的二元函数，则 \( F(x) \) 关于 \( x \) 的导数可以表示为：

\[ F'(x) = f(b(x), x) \cdot b'(x) - f(a(x), x) \cdot a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(t, x) \, dt \]

这个公式的含义是，当我们对一个变限积分求导时，不仅需要考虑积分内部函数的变化，还需要考虑积分上下限的变化。此外，还要加上积分区间内函数对 \( x \) 的偏导数在整个区间上的积分。

为了更好地理解这个公式，我们可以举一个简单的例子。假设我们有以下积分：

\[ G(x) = \int_{0}^{x^2} e^{xt} \, dt \]

根据上述公式，首先确定 \( a(x) = 0 \)，\( b(x) = x^2 \)，以及 \( f(t, x) = e^{xt} \)。接下来计算各项：

- \( f(b(x), x) = e^{x \cdot x^2} = e^{x^3} \)

- \( b'(x) = 2x \)

- \( f(a(x), x) = e^{x \cdot 0} = 1 \)

- \( a'(x) = 0 \)

- \( \frac{\partial}{\partial x} f(t, x) = t \cdot e^{xt} \)

将这些结果代入公式，得到：

\[ G'(x) = e^{x^3} \cdot 2x - 1 \cdot 0 + \int_{0}^{x^2} t \cdot e^{xt} \, dt \]

这样就得到了 \( G(x) \) 的导数表达式。

总之，掌握变限积分求导公式对于解决复杂的积分问题至关重要。通过灵活运用莱布尼茨积分法则，我们可以有效地处理各种实际问题中的积分求导需求。