题目解析：关于函数 \( y = x \cot x \) 的求导过程

在高等数学中，函数的求导是基础且重要的知识点之一。本题需要对函数 \( y = x \cot x \) 进行求导，其中 \( \cot x \) 是余切函数。为了清晰地展示推导过程，我们将分步骤进行详细说明。

第一步：明确复合函数结构

函数 \( y = x \cot x \) 是一个乘积形式的函数，因此我们可以将其视为两个部分的乘积：

- 第一部分为 \( u(x) = x \)

- 第二部分为 \( v(x) = \cot x \)

根据乘积法则（Product Rule），对于形如 \( y = u(x)v(x) \) 的函数，其导数公式为：

\[

y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

\]

第二步：分别计算 \( u'(x) \) 和 \( v'(x) \)

1. 计算 \( u'(x) \)

由于 \( u(x) = x \)，其导数为：

\[

u'(x) = 1

\]

2. 计算 \( v'(x) \)

对于 \( v(x) = \cot x \)，我们需要知道余切函数的导数公式：

\[

(\cot x)' = -\csc^2 x

\]

因此：

\[

v'(x) = -\csc^2 x

\]

第三步：代入乘积法则公式

将上述结果代入乘积法则公式：

\[

y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

\]

即：

\[

y' = (1)(\cot x) + (x)(-\csc^2 x)

\]

化简后得到：

\[

y' = \cot x - x \csc^2 x

\]

第四步：总结结果

最终，函数 \( y = x \cot x \) 的导数为：

\[

y' = \cot x - x \csc^2 x

\]

通过以上步骤，我们完成了对函数 \( y = x \cot x \) 的求导过程，并得到了明确的结果。希望这个详细的推导过程能够帮助您更好地理解乘积法则的应用以及余切函数的求导规则。

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